Der Gruppenbegriff in der Geometrie

Abstract

So stark die mathematische Forschung sich aueh verzweigt hat, ihr Aufbau ist im wesentlichen iiberall derselbe und dureh wenige zentrale Begriffe geregelt. Im Gang der Entwicklung tritt freilieh der eine oder andere besonders in Erscheinung. So ist das Kennzeichen der neueren Mathematik der Funktionsbegriff und ebenso unbestritten ffir die letzten hundert Jahre der Begriff der Gruppe. Seine Bedeutung fiir die Geometrie erkannt und dargestellt zu haben, ist das Werk FELIX KLEINS. Der vorliegende Bericht wird daher in erster Linie seinen Beitrag zur heutigen Ansicht vom Wesen der Geometrie wfirdigen, er soll den Ausbau und die Weiterentwicklung seiner Ans~ttze in den letzten Jahrzehnten aufzeigen und an Hand dieses Ausschnittes aus der Geschichte der neuesten Geometrie einen Einblick bieten in die Antriebe der mathematischen Bet/itigung fiberhaupt, an einem Thema, das durch seine Beziehung zum Raumproblem, also der Grundfrage der Geometrie, ein atlgemeines Interesse beanspruchen darf. Zum Beginn: Was ist eine mathematische Gruppe ? Per Definition ein System yon Elemcnten mit folgenden vier Eigenschaften: 1. Zwischen zwei gleichen oder versehiedenen Elementen in bestimmter Reihenfolge ist eine Verkniiplung erkl/irt, die ihnen eindeutig ein Element des Systems zuordnet. (Man kann die Verkntipfungsoperati0n <d~,Iultiplikation>> nennen und durch Hintereinanderstellen der beiden Elemente bezeichnen, wie es bei der gew6hnlichen Multiptikation yon Zahlen fiblich ist, nur ist hier die Reihenfolge zu beachten. Das den Ausgangselementen zugeordnete Element heiBt dann ihr <~Produkb>, die Ausgangselemente <~Faktorem>.) 2. Die Verkniipfung ist assoziativ, d. h. bei mehreren Faktoren ist die Art ihrer Zusammenfassung zu Teilprodukten auf das Gesamtprodukt ohne Einflul3. 3. Es gibt ein Element, das als Faktor auf das Produkt keinen EinfluB hat, das ~Einselement~> der Multiplikation, und zwar ffir jedes Element des Systems das gteiche Einselement, die Einheit E der Gruppe. 4. Zu jedem Element existiert im System ein <dnverses>>, dessen Verknfipfung mit dem ersten zur Gruppeneinheit fiihrt. Die feineren Einzelheiten, wieweit die genannten Postulate einander eventuell bedingen, lasse ich beiseite. Ich gebe sofort einige Beispiele yon Elementsystemen an, die eine Gruppe bilden. Man nennt das eine Verwirklichung oder Darstetlung einer abstrakten Gruppe. Die ersten entnehme ich der ebenen Geometrie. 1. Die Verschiebungen (Translationen) in einer vorgegebenen Parallelensehar. Als Verkntipfnng gilt das Hintereinanderschalten zweier Translationen. Ihre Assoziativit:it ist oftenkundig. Das Einselement ist das dn Rnhe lassen~>, das als uneigentliche Translation hinzuzunehmen ist. Zu jeder Verschiebung gibt es die inverse, n~irnlich die Verschiebung yon gleicher Litnge, aber in umgekehrter Richtung. 2. Die Drehungen (Rotationen) um einen vorgegebenen Punkt bei analoger Erkl~irung. Unsere Definition der Gruppen weist ferner auf eine VerwirMiehung im Bereich der Arithmetik hin: 3. Die natiirlichen Zahlen und die positiven Brfiehe, die sogenannten positiven rationalen Zahlen mit der gew6hnlichen Multiplikation als Verkniipfungsoperation. Das Einselement ist eben die Zahl 1. Invers zu 17 ist die zu 17 reziproke Zahl 1/17. Das Assoziativgesetz sagt aus, dal3 ein Produkt aus mehreren gegebenen Faktoren auch ohne Klammersetzungen eindeutig bestimmt ist. Das Vertauschungsgesetz der Multiplikation ist dagegen bei Gruppen im allgemeinen nieht erfiitlt. Wir werden sogleich an einer geometrischen Gruppe erkennen, dab die Reihenfotge der Faktoren das Produkt beeinflussen kann. 4. Die ganzen ZahIen (X o) nach der Addition verkniipft. Das Einselement ist die Zahl 0, invers zu 17 ist die entgegengesetzte ZahI 1 7 usw. Vergleiche die geometrische Deutung als Gruppe der Verschiebungen (Beispiel 1). Man erkennt, daB die Erweiterungen des urspriinglichen Bereichs der natiirlichen Zahlen zu dem Bereich aller ganzen und dann der rationalen Zahlen (mit dem Ziel: alle linearen Gleichungen 16sbar zu machen) mit dem Gruppenbegriff zusammenh:tngen. Falls ein (echter) Tell der Elemente einer Gruppe unter sick die Postulate des Gruppenbegriffs erfiillt, so heiBt man das Teilsystem eine (echte) Untergruppe der Gesamtgruppe. So ist jede Gruppe yon ebenen Translationen oder Rotationen als Untergruppe in der Gruppe aller Bewegungen in der Ebene enthalten. Aus den Rotationen kann man einfache Beispiele endlicher Gruppen bilden, das sind Gruppen mit nur endlich vielen Elementen. Vier Drehungen um einen

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3 Figures and Tables

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